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量子力学

・ このページの最終更新日時 2016年8月11日 (木) 14:23




量子力学」の掲示板 / コメント

[英quantummechanics仏m?caniquequantique独Quantenmechanik]

分子原子素粒子などの微視的な対象を取り扱う理論体系。 巨視的な対象にしか適用できない古典力学は対象に関する力学量がすべて正確に指定できることを当然の前提とし,時刻tに系がもつ位置と運動量の値の一組をその時刻の系の状態としていた(→位相空間[2])。 これに対し量子力学は,2つ以上の力学量,例えば粒子の位置と運動量は必ずしも同時に正確に観測できず,その不確定がプランク定数hによってきまる,という不確定性原理を基本とする。 量子力学基本法則はhを含み,作用量が大きくhが無視できる巨視的極限では古典力学に一致するが,そうでない現象では古典力学といちじるしく異なり,粒子と波動の2重性を具体的に表現し,微視的世界の力学をみごとに記述する。
量子力学の革命の幕は,ハイゼンベルクによる行列力学(1925),シュレーディンガーによる波動力学(1926)によって開けられた.一見はなはだ異なるこの2つが全く同等であることは,シュレーディンガーおよびディラックヨルダンらによって証明された.量子力学では対象とする力学系についてその状態ψと問題とする物理量の組(A,B,…)を分離する.状態ψはヒルベルト空間Hのベクトル,物理量A,B,…はこのベクトル定義域をもつ演算子とする.状態ψにおいて量Aを観測するときに得られる観測値αは一般に一義的でなく,演算子Aの固有値{a?}のいずれかが確率的に現われる.a?に属するAの規格化された固有ベクトルu?(Au?=a?u?)によって,観測値がa?となる確率は|〈u?,ψ〉|2であたえられる.〈u?,ψ〉はHに定まっているu?とψの内積である.上のことから,物理量A,Bが演算子として可換でなければ,A,Bを同時には正確に測定できない(不確定性原理).
物理量を表わす演算子を定める基本となるのが,粒子の位置と運動量直交座標成分演算子qk,pk(k=1,…,3N;Nは粒子数)に要請される正準交換関係
(1)[pk,q]=-i?δk,[pk,p]=0,[qk,q]=0
で,これから任意の状態における位置と運動量との観測値の標準偏差Δxk,Δpkに対してΔxkΔp≧(?/2)δkという不確定性関係のなりたつことが導かれる(δkクロネッカーのδ記号).エネルギー角運動量など他の力学量の演算子は,古典力学での位置座標と運動量による表式に演算子qk,pk代入してつくる.一般に力学量Aの時間発展A(t)は系のハミルトニアン[hE074]に支配され,ハイゼンベルクの運動方程式
( 図 )
で因果的に決定される.この方程式交換子(-i/?)[,]をポアソン括弧と読み直せば古典力学正準方程式と同じ形である.状態ψの系で時刻tにAの観測をして得る測定値の平均値〈ψ,A(t)ψ〉は,また〈ψ(t),Aψ(t)〉とも書ける.ψ(t)を因果的に定める
( 図 )
シュレーディンガー方程式(Schr[hE051]dingereguation)とよぶ.時間発展の記述のうち,状態ベクトルψを固定し力学量の演算子をA(t)のように動かすものをハイゼンベルク表示(Heisenbergrepresentation,Heisenbergpicture)とよび,反対に力学量Aを固定し状態ベクトルをψ(t)のように動かすものをシュレーディンガー表示(Schr[hE051]dingerrepresentation)とよぶ.表示という代わりに描像(picture)ということも多く,それは次に述べる表示と区別するためである.
状態ベクトルを3N次元配位空間の2乗可積分関数ψ(x1,…,x3N)とし,運動量と位置座標の演算子
( 図 )
のように微分演算子と掛算演算子として具体化すれば正準交換関係(1)の1つの表現が得られる.これをシュレーディンガー表示とよぶ.このとき,たとえばポテンシャルの場V(q)を運動する質量mの1質点ハミルトニアン
( 図 )
となる(波動力学).また,ヒルベルト空間Hの任意の完全正規直交系{u?}をとり演算子Aを行列(〈u?,Aum〉)として具体化しても正準交換関係(1)の表現が得られる.これをハイゼンベルク表示とよぶ(行列力学).正準交換関係の表現はほかにも無数に考えられるが,無理のない条件をみたすどんな表現も互いにユニタリ変換で結ばれ本質的に同一であり(フォン・ノイマンの一意性定理),このことから波動力学行列力学の同等性も確立される.
N体問題の波動関数は3N次元配位空間の上の関数になるが,第2量子化の手続きをすれば3次元の物理空間における(量子化された)波動を扱う形に直すことができる(→場の量子論)。







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