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自然対数

・ このページの最終更新日時 2017年4月1日 (土) 22:24




自然対数」の掲示板 / コメント

自然対数関数のグラフ。x の増加に伴って正の無限大に発散し、y 軸を漸近線に持つ。

自然対数(しぜんたいすう、natural logarithm)は、ネイピア数を底とする対数 (logarithm) である。

歴史的には、オランダニコラス・メルカトルによって、1668年に、1/x積分として見出された。

\log x = \int_1^x \frac{dt}{t}

自然対数を定める関数 log x は、指数関数 ex逆関数である。

他の自然科学や工学などの分野によっては、底を省いた表記「log x」は常用対数二進対数などと紛らわしい場合があるため、自然対数のラテン語名「Logarithmus Naturalis」の頭文字を取って、特に ln x と表記することがある。

  1. REDIRECT対数

バナッハ環における対数関数[編集]

|x| < 1 を満たす x に対して、テイラー展開

\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infin} (-1)^{n+1}\,{x^n \over n}=x-{x^2 \over 2}+{x^3 \over 3}-{x^4 \over 4}+\cdots

が可能である。この級数展開も、1668年にメルカトルによって見出されたものである。

すべての固有値の絶対値が 1 より小さい正方行列 X が与えられたとき、このテイラー展開の変数に X を代入することにより、行列 I + X の対数 ln (I + X ) が定義される。ここで、IX と同じサイズの単位行列である。これをさらに一般化して、和や積の構造と両立するノルムを持った完備な空間であるバナッハ環において、ノルムが 1 より小さい元 x に対し、上の式によって 1 + x の対数が定義できる。このとき、指数関数による ln (1+x ) の像は可逆元 1+x になっている。

自然対数の様々な表示[編集]

指数関数 xt = et ln xt で微分した導関数が et ln x ln x = xt ln x となることから、この指数関数の t = 0 における微分係数を2通りに算出(第1辺:導関数に t = 0 を代入、第2辺:接線の傾きを幾何学的に計算)することにより、次のような自然対数の表示が得られる:

\ln x = \lim_{t \to 0} {x^t - 1 \over t} = \lim_{n \to \infty} n (x^{1/n} - 1)

脚注[編集]


関連項目[編集]







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