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テイラー級数

・ このページの最終更新日時 2015年10月23日 (金) 21:58




テイラー級数」の掲示板 / コメント

[Taylor'sseries]

たとえば,実関数f(x)に対しx=aを中心として書いた次の形式的無限べき級数をいう:
( 図 )
独立変数2個のf(x,y)に対しx=a,y=bを中心とするものは
( 図 )
である.この[…]をDnf(a,b)と書く.ある種の条件下ではこれらの関数fテイラー級数有限項までの総和との差(剰余項)を規定するテイラーの定理(Taylor'stheorem)が成立する.たとえば,区間(α,β)でm回微分可能関数f(x)を(α,β)内の定点aおよび任意の点xについて,
( 図 )
と表わせば,剰余項Rmは(x-a)[hE343]f([hE343])(ξ)/m!となる。 ξはaとxの間のある数である。 このときテイラー級数は(m-1)次の漸近級数となる。 f(x)が無限回微分可能でm→∞のときRm→0ならば,テイラー級数収束してf(x)に等しくなる。 f(x,y)についても,定点(a,b)と(x,y)とが領域内に含まれる線分で結べること,および上と類似の条件の下に,剰余項RmはD[hE343]f(ξ,η)/m!となる。 ξはaとxの間,ηはbとyの間のある数である。 複素変数関数f(z)については,|z-a|<rで正則関数ならば,この領域内でテイラー級数収束してf(z)に等しくなる。 なおa=0の場合のテイラー級数マクローリン級数(Maclaurin'sseries)ともいう。







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